روش فاکتوریزاسیون و تعیین تقارنهای پنهان در برخی از سیستمهای کوانتومی

اندیشههای مربوط به مکانیک کوانتومی سالها قبل از تولد شرودینگر نیز وجود داشت و برخی نظریههای ارائه شده توسط دیگر فیزیکدانان با دستآورد شرودینگر، تنها کمی فاصله داشت و این گام مهم تکمیلی را شرودینگر برداشت. در پیدایش مکانیک کوانتومی مشاهده میشود که مکانیک کوانتومی آنطور که ماکس پلانک ارائه داده بود، پدیدههای میکروسکوپی را توجیه نمینمود و چند گام مناسب توسط اینشتین ، بور ، کمپتون ، دوبروی و ... برداشته شد تا سرانجام توسط شرودینگر، دیراک ، فاینمن و ... مکانیک کوانتومی جدید شکل گرفت. مکانیک کوانتومی به تحلیل و بررسی جهان میکروسکوپی پرداخته و نتایج جالب و عجیبی که به صورت تجربی نیز مورد تأیید قرار گرفته است، از توفیقات بزرگ این نظریه محسوب میشوند. معادلات حرکت سیستمهای کوانتومی به روشهای ریاضی مختلفی از جمله، حل معادلات دیفرانسیل، روش سریهای توانی، ابر تقارن، روش چندجمله ایهای متعامد، روش فاکتوریزاسیون و حل عددی مورد بررسی قرار میگیرند. هر کدام از این روش ها مزایا و معایبی نسبت به یکدیگر و سایر روشها دارند. عمدتاً، علت اینکه روشهای مختلفی برای حل سیستمهای کوانتومی وجود دارد به دو دلیل است. اول اینکه، بتوان راه حل ساده تری از سیستم مورد مطالعه را ارائه داد، و دوم اینکه، با روشهای متفاوت میتوان اطلاعات متعددی از سیستم کوانتومی مورد نظر را بدست آورد و آنها را بررسی نمود. در این پروژه، با استفاده از روش فاکتوریزاسیون فرمالیسم ریاضی نظریه کوانتومی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. روش فاکتوریزاسیون ابزاری کارآمد در حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم می باشد. این روش بر اساس فرمالسیم عملگرها بوده و طیف وسیعی از مسائل مکانیک کوانتومی را پوشش میدهد. از لحاظ تاریخی روش فاکتوریزاسیون به کارهای شرودینگر و دیراک در مکانیک کوانتومی مربوط می شود، و پس از آن توسط دیگر فیزیکدانها مانند اینفلد و هال توسعه یافته و نهایتاً با کارهای میلنیک تکمیل شده است. روش فوق یک تکنیک کلی در تبدیل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم سیستمهای مفروض، به یک جفت معادله دیفرانسیل مرتبه اول می باشد، طوری که سروکار داشتن با آنها بلحاظ ریاضی راحتتر است. در روش فوق با استفاده از شرایط مرزی یک جفت عملگر نردبانی مرتبه اول برای سیستم مورد نظر بدست می آید و جوابهای دقیق سیستم مورد مطالعه با استفاده از عملگرهای نردبانی حاصل می شود. در این پایاننامه قصد داریم تا با استفاده از روش جدیدی اطلاعات بیشتری را از سیستم مورد مطالعه بدست آوریم و رهیافتی که پیش خواهیم گرفت قدری متفاوت از روش فاکتوریزاسیونی است که توسط شرودینگر و دیگران ارائه شده است. برای این منظور سیستم مورد نظر را با یکی از روش های استاندارد حل می کنیم و یک ساختار کلی برای عملگرهای نردبانی بدست می آوریم. برای این منظور یک عملگر دیفرانسیلی خطی روی تابع موج اثر می دهیم و از روابط بازگشتی میان چندجمله ایها و توابع خاص استفاده کرده و جبر مناسب با هر سیستم را بنا میکنیم. جبر لی بدست آمده برای هر سیستم اطلاعات جامعی از آنرا به ما می دهد که مهمترین آن تعیین تقارنهای پنهان در سیستم مورد مطالعه است. نهایتاً برای استفاده های بعدی، عناصر ماتریسی عملگرهای نردبانی را بدست می آوریم که اطلاعات مفیدی از سیستم را به ما می دهد. در این پروژه، خواهیم دید که در برخی از سیستمهای مورد مطالعه گروههای لی su(2) و su(1,1) و همچنین جبرهای لی آنها su(2) و su(1,1)نشان دهنده تقارنهای داخلی سیستمهای کوانتومی می باشند. جبرهای لی فوق برای ما شناخته شده است و با نشان دادن اینکه سیستم کوانتومی دارای تقارن su(2)یا su(1,1) است، اطلاعات مفیدی از آن سیستم بدست می آید. بطور کلی ما در طبیعت با تقارنهای زیادی مواجه می شویم و برای توصیف پدیده های فیزیکی موجود در طبیعت، از این تقارنها استفاده می کنیم. در واقع تقارنها یک ویژگی بنیادی و مهم از سیستم هستند که برای نمایش دادن این تقارنها به زبان ریاضی، از گروهها استفاده می کنیم. به عبارت دیگر، گروهها نمایش ریاضی تقارنها هستند. این پروژه شامل سه فصل می باشد. در فصل اول روش فاکتوریزاسیون را به همراه مقدمات مورد نیاز آن بیان خواهیم کرد. در فصل دوم کاربردهایی از این روش را در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی و نسبیتی ارائه خواهیم نمود و مثالهای مختلفی را در این ضمینه حل خواهیم کرد. و بالاخره در فصل پایانی نتیجه گیری و بحث های فیزیکی را در این باره مطرح خواهیم کرد.